Метод прогонки

Теоретическая часть Пусть Ax=b, где A — трехдиагональная матрица. Матрица A=[aij] называется (2m+1) — диагональной, если aij=0 при |i-j|>m. Для решения систем уравнений такого вида часто наиболее целесообразно применять метод Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных. В случае, когда этот метод применяется для решения СЛАУ, его называют методом прогонки. Получаем , используем метод прогонки, исходя […] Подробнее...

LU — разложение

Теоретическая часть Пусть дано уравнение Ax=b, тогда LU-разложением называется разложение вида: LUx=b, где Ux=y, а Ly=b. При этом: LU=A, этим равенством можно пользоваться для проверки на правильность разложения. Этот метод лежит в основе метода Гаусса. Матрица U верхнетреугольная, по диагонали единицы, поэтому ее определитель равен единице. Матрица L — нижнетреугольная, ее определитель равен произведению элементов, […] Подробнее...

Метод секущих

Задача: Найти один корень заданного уравнения с относительной точностью 0.1%.  f(x)=x5-3x2+1=0. Рассчитать предельно-точное значение корня уравнения ? (с погрешностью 10-12). В процессе решения уравнения методом простой итерации с погрешностью 10-4 — 10-5 рассчитать порядок сходимости метода секущих:, n=0,1,2,… Имеем уравнение f(x)=0, приведем его к удобному виду ?(x)=0, проделав, например, такие операции: f(x)=0?x+f(x)=x, где x+f(x)=?(x), получим, […] Подробнее...

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Май 20, 2009 / Автор AlexR / Рубрики Статьи, Численные методы / 11 комментариев
Теоретическая часть Метод Гаусса представляет собой обобщение способа подстановки и состоит в последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным. При этом матрица СЛАУ приводится  треугольному виду, где ниже главной диагонали располагаются только нули. Приведение матрицы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход начинается с решения […] Подробнее...

Метод простых итераций (II способ)

ПРОГРАММА РЕАЛИЗОВАНА В СРЕДЕ MATLAB. Задача: Найти один корень заданного уравнения с относительной точностью 0.1%.. Рассчитать предельно-точное значение корня уравнения ?. В процессе решения уравнения методом простой итерации с погрешностью 10-3 — 10-5 вычислить отношение абсолютных погрешностей на соседних итерациях: Теоретическая часть Имеем уравнение f(x)=0, приведем его к удобному виду ?(x)=x, проделав, например, такие операции: f(x)=0 […] Подробнее...

Метод простых итераций (I способ)

Задача: Найти хотя бы один корень заданного уравнения с относительной точностью 0.1%. Реализовать на Pascal  метод простых итераций для уравнения: . Теоретическая часть Имеем уравнение f(x)=0, приведем его тождественными преобразованиями к некоторому виду: f(x)=0??(x)f(x)=0?x+?(x)f(x)=x где ?(x)=x+?(x)f(x) (1), получаем ?(x)=x. В формуле (1) выберем функцию (или постоянную) ??0, так чтобы функция ?(x) удовлетворяла тем свойствам, которые […] Подробнее...

Метод Ньютона (Касательных)

Май 2, 2009 / Автор AlexR / Рубрики Статьи, Численные методы / 1 комментарий
Теоретическая часть Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо деления отрезка пополам, причем не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид: . Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Действительно, последовательные приближения метода Ньютона […] Подробнее...