Метод простых итераций (II способ)

ПРОГРАММА РЕАЛИЗОВАНА В СРЕДЕ MATLAB.

Задача: Найти один корень заданного уравнения с относительной точностью 0.1%.f(x)=x^5-3*x^2+1=0. Рассчитать предельно-точное значение корня уравнения ?. В процессе решения уравнения методом простой итерации с погрешностью 10-3 — 10-5 вычислить отношение абсолютных погрешностей на соседних итерациях: Q=(?-x{n+1})/(?-x{n})

Теоретическая часть

Имеем уравнение f(x)=0, приведем его к удобному виду ?(x)=x, проделав, например, такие операции: f(x)=0 ? x+f(x)=x, где x+f(x)=?(x), получим, что ?(x)=x. Функция ?(x) называется итерационной функцией.

Для поиска корня следует выбрать начальное приближение x0 такое, чтобы оно лежало как можно ближе к искомому корню ?. Последующие приближения вычисляются по итерационной формуле: xn+1=?(xn). Итерацией называется последовательность действий, в которой полученное значение на предыдущем шаге используется для поиска следующего значения на последующем шаге. Итерациями часто называют и сами полученные на каждых шагах значения xn.

Теорема (о сходимости метода простой итерации): Пусть в некоторой  — окрестности корня ? функция ?(x) дифференцируема и удовлетворяет условию |?‘(x)|?q, где 0?q<1 - постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из окрестности ?, итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, и для метода справедлива оценка погрешности:

|?-x{n}|<=(q/(q-1))*|x{n}-x{n-1}|, n=1,2,3...

Критерий окончания итерационного процесса:

|x{n}-x{n-1}|<(1-q)*?/q, где ? — заданная точность. Если величина 0|xn xn-1|<?, метод будет сходиться быстрее.

Подготовка и решение задачи

Алгоритм:

Блок схема метода простой итерации 2 способ

Описание входной информации: xp — начальное приближение, e — относительная погрешность (по условию задачи e=0.001).

Описание выходной информации: xp — корень, который удовлетворяет условию, f(xp) — значение функции в найденном корне, n — количество проведенных приближений (итераций), ? — предельно-точное значение корня, Q — отношение абсолютных погрешностей, fip(ksi) — ?'(?), fip(xp) — ?'(xn+1).

В программе ? определяется с помощью встроенной в MatLAB функции fzero(f,xp,eps). Где f- изначальная функция, xp-первое приближение, eps-точность (10-6).

Ссылки для скачивания:
Метод простых итераций II способ
Вернуться назад

Комментарии