Метод простых итераций (I способ)

Задача: Найти хотя бы один корень заданного уравнения с относительной точностью 0.1%. Реализовать на Pascal  метод простых итераций для уравнения: f(x)=x^5-3*x^2+1=0.

Теоретическая часть

Имеем уравнение f(x)=0, приведем его тождественными преобразованиями к некоторому виду: f(x)=0??(x)f(x)=0?x+?(x)f(x)=x где ?(x)=x+?(x)f(x) (1), получаем ?(x)=x. В формуле (1) выберем функцию (или постоянную) ??0, так чтобы функция ?(x) удовлетворяла тем свойствам, которые понадобятся в дальнейшем для нахождения корня. В моем случае я выберу ? так, чтобы |?'(x)|<1, следовательно, |1-f'(x)/g(x)|<1. Для моего уравнения ? будет выглядеть так: ?=-1/(5x^4-6x+1).

Для поиска корня, выберу начальное приближение x0 таким, чтобы оно лежало бы как можно ближе к искомому корню x*. Далее буду вычислять последующие приближения по следующей формуле: x{n}=?(x{n-1}). Итерацией называется последовательность действий, в которых полученное значение на предыдущем шаге используется для поиска следующего значения на последующем шаге. Итерациями часто называют и сами полученные на каждых шагах значения xn.

Заметим тот факт, что x* — корень уравнения x=?(x), значит, что x* есть абсцисса точки пересечения графика y=?(x) с прямой y=x. Если же при каком-либо x0 вычислено значение x1=?(x0) и взято в качестве нового аргумента функции, то это означает, что через точку графика (x0; ?(x0)) проводится горизонталь до прямой y=x, а оттуда опускается перпендикуляр на ось Ox. Там и будет находиться новый аргумент x1.

Илл. к мет. пр. итер.

Подготовка и решение задачи

Алгоритм:

Блок схема к программе мет. пр. итер.

Описание входной информации: xp — начальное приближение, e — относительная погрешность (по условию задачи e=0.001).

Описание выходной информации: xp — корень, который удовлетворяет условию, xa — корень не подошедший по точности (не удовлетворяющий условию), f(xp) — значение функции в найденном корне, n — количество проведенных приближений (итераций).

Ссылка для скачивания: Метод простых итераций I способ
Вернуться назад

Комментарии