ПК для ТЕБЯ

Теоретическая часть

Пусть Ax=b, где A – трехдиагональная матрица. Матрица A=[a_ij] называется (2m+1) – диагональной, если a_ij=0 при |i-j|>m.

Для решения систем уравнений такого вида часто наиболее целесообразно применять метод Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных. В случае, когда этот метод применяется для решения СЛАУ, его называют методом прогонки.

Получаем , используем метод прогонки, исходя из следующего рекуррентного соотношения:,(2) получаем:

Эти формулы представляют собой прямой проход метода. Обратный проход:

Остальные x_i находим из формулы (2).

Для применимости метода прогонки достаточно, чтобы матрица A была с диагональным преобладанием.

Алгоритм:

1.     Вводим str/stlb – количество строк/столбцов, A – элементы расширенной матрицы

2.     Проверяем матрицу на диагональное преобладание

3.     Если матрица с диагональным преобладанием тогда п.4, иначе п.8

4.     Выполняем прямой ход метода (формулы (3), (4)): c[1]:=A[1,2]/A[1,1]; d[1]:=A[1,stlb]/A[1,1];
c[i]:= (-A[i,i+1])/(A[i,i-1]*c[i-1]+A[i,i]);
d[i]:= (A[i,stlb]-A[i,i-1]*d[i-1])/(A[i,i-1]*c[i-1]+A[i,i])

5.     Далее обратный ход (формулы (2),(5)):
x[str]:=(A[str,stlb]-A[str,str-1]*d[str-1])/(A[str,str]+A[str,str-1]*c[str-1]);
x[i]:=c[i]*x[i+1]+d[i];

6.     Выводим x;

7.     Проверки на невязку;

8.     Заканчиваем алгоритм.

В программе: A[i,i+1] = B_i, A[i,i] = C_i, A[i,i-1] = A_i, A[i,stlb] = b_i, d[i] = ?_i, c[i] = ?_i, str = n.

Описание входной информации: Str (Stlb) – количество строк (столбцов) в расширенной матрице, A [i, j] – матрица A (i – строки, j – столбцы)

Описание выходной информации: x – матрица-ответ

Ссылки для скачивания:Метод прогонки

Вернуться назад