ПК для ТЕБЯ

Теоретическая часть

Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо деления отрезка пополам, причем не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид: .

Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Действительно, последовательные приближения метода Ньютона сходятся гораздо быстрее, чем в общем методе итераций.

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику  y=f(x) в точке очередного последовательного приближения x_i , а за следующее приближение x_i+1 берём точку пересечения этой касательной с осью Ox. Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом (ведь кривизну графика, связанную с второй производной, мы не учитываем, и поэтому неизвестно, в какую сторону от касательной отклонится график).

Рисунок 1

Подготовка и решение задачи

Алгоритм:

1)           Вводим e (относительная погрешность);

2)           Вводим a,b (левый и правый края промежутка);

3)           Считаем функцию в точке a, а также считаем ее вторую производную.

4)           Если  f(a)*f»(a)>0 тогда переходим в п. 5), при этом обнуляем счетчик n и приравниваем к переменной xa:=a, иначе выводим сообщение об ошибке «Ваши данные не подходят для данного метода!» и переходим к п.2);

5)           Присваиваем xa:=xp ;

6)           Считаем xp по итерационной формуле;

7)           Увеличиваем n на единицу;

8)           Если  |xp-xa|<e тогда переходим к п. 9) иначе к п.5);

9)           Выводим на экран сообщение: «Ответ:x=», выводим х, считаем f(x), выводим f(x), а также выводим количество проведенных итераций и предыдущий корень не подошедший по точности;

10)      Завершаем алгоритм.

Описание входной информации: a – левая граница промежутка, b – правая граница промежутка, e – относительная погрешность (по условию задачи e=0.1).

Ссылка для скачивания: Метод Ньютона (Касательных)
Вернуться назад