ПК для ТЕБЯ

Метод прогонки

Автор AlexR . Программирование, Статьи, Численные методы добавлено 10. Июл, 2009 | Прокомментировано 2 раз

Теоретическая часть
Пусть Ax=b, где A – трехдиагональная матрица. Матрица A=[aij] называется (2m+1) – диагональной, если aij=0 при |i-j|>m.
Для решения систем уравнений такого вида часто наиболее целесообразно применять метод Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных. В случае, когда этот метод применяется для решения СЛАУ, его называют методом прогонки.

Получаем , используем метод прогонки, исходя из следующего рекуррентного [...]

LU – разложение

Автор AlexR . Программирование, Статьи, Численные методы добавлено 12. Июн, 2009 | Прокомментировано 4 раз

Теоретическая часть
Пусть дано уравнение Ax=b, тогда LU-разложением называется разложение вида: LUx=b, где Ux=y, а Ly=b. При этом: LU=A, этим равенством можно пользоваться для проверки на правильность разложения.
Этот метод лежит в основе метода Гаусса.
Матрица U верхнетреугольная, по диагонали единицы, поэтому ее определитель равен единице. Матрица L – нижнетреугольная, ее определитель равен произведению элементов, расположенных по диагонали.
Прямой [...]

Метод секущих

Автор AlexR . Программирование, Численные методы добавлено 29. Май, 2009 | Нет комментариев

Задача: Найти один корень заданного уравнения с относительной точностью 0.1%.  f(x)=x5-3×2+1=0. Рассчитать предельно-точное значение корня уравнения ? (с погрешностью 10-12). В процессе решения уравнения методом простой итерации с погрешностью 10-4 – 10-5 рассчитать порядок сходимости метода секущих:, n=0,1,2,…
Имеем уравнение f(x)=0, приведем его к удобному виду ?(x)=0, проделав, например, такие операции: f(x)=0?x+f(x)=x, где x+f(x)=?(x), получим, что [...]

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Автор AlexR . Статьи, Численные методы добавлено 20. Май, 2009 | Прокомментировано 2 раз

Теоретическая часть
Метод Гаусса представляет собой обобщение способа подстановки и состоит в последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным.
При этом матрица СЛАУ приводится  треугольному виду, где ниже главной диагонали располагаются только нули.
Приведение матрицы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход начинается с решения последнего уравнения и [...]

Метод простых итераций (II способ)

Автор AlexR . Программирование, Статьи, Численные методы добавлено 11. Май, 2009 | Нет комментариев

ПРОГРАММА РЕАЛИЗОВАНА В СРЕДЕ MATLAB.
Задача: Найти один корень заданного уравнения с относительной точностью 0.1%.. Рассчитать предельно-точное значение корня уравнения ξ. В процессе решения уравнения методом простой итерации с погрешностью 10-3 – 10-5 вычислить отношение абсолютных погрешностей на соседних итерациях:
Теоретическая часть
Имеем уравнение f(x)=0, приведем его к удобному виду φ(x)=x, проделав, например, такие операции: f(x)=0 → x+f(x)=x, [...]

Метод простых итераций (I способ)

Автор AlexR . Программирование, Статьи, Численные методы добавлено 10. Май, 2009 | Нет комментариев

Задача: Найти хотя бы один корень заданного уравнения с относительной точностью 0.1%. Реализовать на Pascal  метод простых итераций для уравнения: .
Теоретическая часть
Имеем уравнение f(x)=0, приведем его тождественными преобразованиями к некоторому виду: f(x)=0??(x)f(x)=0?x+?(x)f(x)=x где ?(x)=x+?(x)f(x) (1), получаем ?(x)=x. В формуле (1) выберем функцию (или постоянную) ??0, так чтобы функция ?(x) удовлетворяла тем свойствам, которые понадобятся [...]

Метод Ньютона (Касательных)

Автор AlexR . Статьи, Численные методы добавлено 02. Май, 2009 | Нет комментариев

Теоретическая часть
Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо деления отрезка пополам, причем не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид: .
Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Действительно, последовательные приближения метода Ньютона сходятся гораздо [...]

Метод половинного деления

Автор AlexR . Статьи, Численные методы добавлено 26. Апр, 2009 | Нет комментариев

Теоретическая часть
Метод половинного деления также называют методом дихотомии. Этот метод решения уравнений отличается тем, что для него не требуется выполнения условия, что первая и вторая производная сохраняют знак на интервале [a, b]. Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x) в том числе недифференцируемых.
Разделим отрезок [a, b] пополам точкой . Eсли (что практически наиболее [...]